Analytic Geometric

Open Table of contents

1. Các khái niệm liên quan
- 1.1. Vector space
- 1.2. Inner Product
2. Các khái niệm chính
- 2.1. Norm
- 2.4. Feature Vectors và Feature Distance

1. Các khái niệm liên quan

1.1. Vector space

Example: P(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n

Là tổng các vector, các vector có thể được nhân với scalar.

Kí hiệu phần tổng:

+ : V \times V \to V, \quad (u, v) \mapsto u + v

Kí hiệu phần nhân:

\cdot : \mathbb{F} \times V \to V, \quad (c, v) \mapsto c \cdot v

Real vector space:

Complex vector space:

1.2. Inner Product

Inner Product tức tích vô hướng, được dùng bởi các phép toán khác của Vector Space

Kí hiệu:

\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{F}

Tính chất:

\langle u + w, v \rangle = \langle u + v\rangle + \langle w + v\rangle

\langle cu, w\rangle= c \cdot \langle u,w \rangle

Inner Product Space:

(V, \langle \cdot,\cdot \rangle)

2. Các khái niệm chính

2.1. Norm

Là độ dài trong không gian của vector

\|\cdot\| : V \to \mathbb{R}

Khi đó: vector u, v đều $\in V$ và scalar $c \in \mathbb{R}$

Tính chất:

Non-negatie: $$ |\mathbf{v}| \geq 0 \quad \text{and} \quad |\mathbf{v}| = 0 \iff \mathbf{v} = \mathbf{0}.

2. Absolute Homogeneous $$ \|c \cdot \mathbf{v}\| = |c| \cdot \|\mathbf{v}\|

Triangle Inequality: $$ |\mathbf{u} + \mathbf{v}| \leq |\mathbf{u}| + |\mathbf{v}|.

undefined

|\mathbf{v}| = \sqrt{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle}

undefined

Nếu inner product sử dụng dot product trên tập $\mathbb{R}^n$ thì được gọi là Euclidian Distance

Distance được gọi là metric khi:

Positive Definite: $$ d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \geq 0 \quad \text{for all } \mathbf{x}, \mathbf{y} \quad \text{and}\quad d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = 0 \iff \mathbf{x} = \mathbf{y}

2. Symmetric:

d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = d(\mathbf{y}, \mathbf{x})

3. Triangle Inequality: $$ d(\mathbf{x}, \mathbf{z}) \leq d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) + d(\mathbf{y}, \mathbf{z})

2.4. Feature Vectors và Feature Distance

Một ví dụ của Feature Vector là RGB: $[R,G,B]$ Nếu $x, y$ là hai Feature vectors của hai entities thì $\|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|$ là feature distance => Nearest khi mà $\|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|$ nhỏ nhất => $\mathbf{z}_{j}$ là nearest neighbor nếu: $$ |\mathbf{x} - \mathbf{z}_j| \leq |\mathbf{x} - \mathbf{z}_i|, \quad \forall i = 1, 2, \dots, m.